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「星屑のなかで出會えた奇跡が 」
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截止頻率於5GHZ之CHEBYSHEV 低通濾波器設計分析與實現 (使用微帶線結構)







以下介紹將使用非常白話的方式簡介,想詳細了解再留言吧!!



濾波器簡介:
 
        微波濾波器是一個雙埠網路,若輸入的信號頻率在其通帶(passband中,就可以通過;在截止帶stopband中,信號就會被衰減。 濾波器的頻率響應主要包括低通low-pass、高通high-pass、帶通band-pass、及帶止band-stop)等四種不同的特性。幾乎所有的無線電通訊系統、雷達、測試、與量測系統,都有濾波器的存在。


濾波器簡單說就是把不要的頻率成分濾除掉!!


       由傅立葉轉換(Fourier transform)我們可以知道任何複雜的訊號均可以用不同週期的sin和cos弦波線性組合而成,也就是將時域(time domain)轉換到頻域(frequency domain) 。而濾波器就是在對頻域動手腳,可以把不要的頻率分量衰減掉!!

舉個例子來說,音樂撥放器的等化器(類似下圖)就有類似的效果!!











當你把某個頻率的拉桿往下拉的時候,實際上就是在衰減這個頻率的分量。
玩過EQ就知道:


衰減低頻的分量,聲音會聽起來比較尖銳比較虛
衰減高頻的分量,聲音會聽起來比較低沉比較悶

       不過音頻的頻率(20Hz~20,000Hz)和我們今天探討的主角(5GHz=5,000,000,000Hz)差太多了,而且上面的範例並不是很正確,聲波和電磁波是完全不同的東西,只是讓大家瞭解一下頻域的概念! 

       通訊系統中用到的濾波器通常是作為過濾雜訊或者分離載波和訊號使用。







電子濾波器的總類請參考維基的介紹
http://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_filter

常用的有下面幾種型式:

       其中butterworth可以看出通帶的部分非常平坦,故又稱為最大平坦(maximum flat)濾波器,但缺點是截止區的部分不夠陡峭,因此選擇性較差:

       而chebyshev的濾波器可以看出截止帶非常陡峭,因此選擇性較好,但是通帶的部分有漣波(Equiripple)產生。










本次設計規格

l  Low-pass filter (低通濾波器)

l  Cutoff frequency of 5GHz. (截止頻率於5GHz)

l  Equiripple of 0.5dB. (漣波=0.5dB)

l  Input and output are match to 50Ω (輸入輸出匹配到50Ω)

l  Rejection of at least 25dB at approximately 1.5 times the cutoff frequency. (1.5倍頻有最少25dB的衰減)


 




設計流程


※以下設計方法請搭配下列參考書    
Reinhold Ludwig and Gene Bogdanov , “An Overview of RF Filter Design”, RF CIRCUIT DESIGN - Theory and Applications 2ed, Pearson Education, 2009, pp. 205-257

在使用設計分佈式元件的微帶線架構設計之前,我們先使用lumped元件來設計!! (也就是用一般的電容、電感元件)



A.Lumped (集總式元件設計法)

 
(1)指定濾波器總類、階數,並查出原型各項參數
   由於題目指定equiripple=0.5dB,可得知為Chebyshev filter (漣波=0.5dB)的形式,從課本Fig. (5-22)可知,階數N最少為5,並且查Table5-4(b)可知係數如下:
      gi=1.7058=g5g2=1.2296=g4g3=2.5408g6=1.0
   也就是: 
     rG=1ΩC1=1.7058F=C5L2=1.229H6=L4C3=2.5408FrL=1.0Ω


圖1.1 原型示意圖

 
(2)進行頻率轉移 ( Frequency transformation )
由於是Lowpass filter ,由課本Eq.(5.48a)Eq.(5.48b):   
              (R)=(R)
       (L)=(L)/ωc=(L)/(2π*5*109)
      (C)=(C)/ωc=(C)/(2π*5*109)
因此上面數值
       rG=1Ω, rL=1.0Ω
       C1=C5=1.7058F/(2π*5*109)=54.2973pF
       L2=L4=1.2296H/(2π*5*109)=39.1394 pH
       C3=2.5408F/(2π*5*109)= 80.8762pF


(3)阻抗轉換 ( Impedance transformation )
              由課本Eq(5.61a)~Eq(5.61b)可知:
                     (R)=(R)*RG=(R)*50
                     (L)=(L)*RG==(L)*50
                      (C)=(C)/RG=(C)/50
           因此最後數值RG=50ΩRL=50.0Ω
C1=C5=54.2973 pF / 50 =1.086 pF
L2=L4=39.1394 pH * 50 = 1.9570nH
C3=80.8762pF / 50 = 1.617524pF
       此即為集總設計電路中所用到的各項電容、電感和電阻值。
(4)ADS驗證
    
  為了驗證求得知結果是否正確,將使用Agilent 先進設計系統(Advanced Design System;ADS )進行模擬,全部的元件均為理想,輸入與輸出端均匹配到50Ω。掃頻的範圍為1~10GHz,間隔0.001GHz


圖1.2 電路佈局圖

 

圖1.3 模擬結果(S11)


圖1.4 模擬結果(S21)

    我們可以觀察S21參數之結果( 見圖1.4 ),其中m1和m2點為equiripple峰值出現的地方,m3為截止頻率 ( 5GHz )之位置,m4為1.5倍截止頻率之位置。其中m1、m2、m3的衰減量均為0.5dB,且m4點的位置衰減量為26.644dB,大於規格要求的25dB。

   
模擬的結果顯示集總式設計在理想的狀況下,果然很完美的符合理論所推估出來的結果,驗證了我們設計的方向果然沒錯!!





 

B.Distributed (分佈式元件設計法)

       由於一般的電路學分析均是假設在元件尺寸遠小於波長,此時可以使用克希荷夫電流定律(KCL)與電壓定律(KVL)來分析問題,也就是說在電線各點同一時刻的電壓可以認為是相同的。


        但是,當電壓的變化和信號沿電線傳播下去的時間可以比擬時,電線的長度變得重要了,這時電線就必須被處理成傳輸線,同一條導線上的電壓大小不但是時間的函數,同時也是空間的函數,因此集總元件的導線長度在高頻電路設計時也要考慮進去。


        而且由於一般的集總元件本身均有寄生電感和寄生電容的存在,在高頻的時候會嚴重影響元件的特性,此時電感不像電感,電容不像電容,因此越高頻元件越小(如SMD),一般的元件頻率響應可以達到GHz級已經很了不起了,GHz級以上就須使用IC製程或者是今天的主角-分佈式元件來製作。而分佈式元件的原理要說也可以說一篇,在此不贅述!




簡單說就是利用傳輸線的特性,使之終端開路或短路,並取長度為8分之一波長,如此即可等效成電容或電感!




(1)指定濾波器總類、階數,並查出原型各項參數
   由於題目指定equiripple=0.5dB,可得知為Chebyshev filter (漣波=0.5dB)的形式,從課本Fig. (5-22)可知,階數N最少為5,並且查Table5-4(b)可知係數如下:
      gi=1.7058=g5g2=1.2296=g4g3=2.5408g6=1.0
   也就是: 
  rG=1ΩC1=1.7058F=C5L2=1.229H6=L4C3=2.5408FrL=1.0Ω
圖2.1 LPF prototype
 
 
(2)轉換電容與電感至等效開路與短路傳輸線
    為了利用λ/8開路與短路傳輸線製作上面的電容與電感,我們使用Richard transformation (見課本Eq 5.64Eq 6.65) 將上面的電容、電感值轉成電阻與電導的形式。得到:
 rG=1rL=1
       Z1=Z5=(C1)-1=0.5862Z2=Z4=L2=1.2296Z3=(C3)-1=0.3936
圖2.2 將電容電感轉換成開短路傳輸線
 
(3)轉換串聯電感至並聯電容
    由於傳輸線結構為Microstrip line的形式,為了電路的可實現性,並做電路的阻抗匹配,利用加入單位元件(UE)Kuroda’s Identities (見課本Table 5-6),將串聯電感想辦法通通轉成並聯電容的形式 (因為並聯電容在微帶線結構中方便使用開路殘段(open stub)製作)
(A)     rG後面和rL前面加入長度為λ/8的單位元件 (ZUE1=ZUE2=1),並利用 Kuroda’s Identities將並聯的Z1轉換串聯形式:
(a)Yc=jωC=S/(Z0)=S/(NZ2) => Z0=1/C=NZ2=0.5862
(b)ZUE=NZ1=1
(c) 由於定義N=1+Z2/Z1,將(1)(2)代入之後可得:
        N=1+(1)/(2)=1+0.5862/1=1.5862
(d)N=1.5862代回(1)(2)可得
        Z1=1/N=1/1.5862=0.6324   
            => 新的Z1=0.6304S
         Z2=0.5862/N=0.5862/1.5862=0.3696
            => 新的ZUE1=0.3696
 
(B)      轉換Z5成串聯形式:
(a)Yc=S/Z2 = > Z2=S/YC=0.5862
(b)Z1=ZUE2=1
(c) N=1+Z2/Z1=1+0.5862/1=1.5862
(d)新的Z5 =Z1/N=1/1.5862=0.6304
   新的ZUE2=Z2/N=0.5862/1.5862=0.3696
圖2.3 加入單位元件UE (Unit element) 

圖2.4 轉換並聯電容成串聯電感
 
(C)     rG後面和rL前面再繼續加入單位元件(ZUE3=ZUE4=1),並將串聯的Z1轉換成並聯形式:
(a)ZL= Z1/N=0.6304 => Z1=0.6304N
(b)ZUE3=Z2/N=1 => Z2=N
(c) N=1+Z2/Z1= 1+N/0.6304N =2.5862
(d)新的Z1=1/Yc=Z2=N=2.5862
   新的ZUE3=Z1=0.6304N=1.6304
圖2.5 繼續加入UE
(D)     將串聯的Z2轉成並聯形式:
(a)ZL= Z1/N=1.2296 => Z1=1.2296N
(b)ZUE1=Z2/N=0.3696 => Z2=0.3696N
(c) N=1+Z2/Z1= 1+0.3696N/1.2296N =1.3001
(d)新的Z2=1/Yc=Z2=0.3696N=0.4807
   新的ZUE1=Z1=1.2296N=1.5992
(E)      將串聯的Z4轉成並聯形式:
(a)ZL= Z1=1.2296
(b)ZUE2=Z2=0.3696
(c) N=1+Z2/Z1= 1+0.3696/1.2296 =1.3001
(d)新的Z4=1/Yc=NZ2=0.3696N=0.4807
   新的ZUE2=NZ1=1.2296N=1.5992
(F)將串聯的Z5轉成並聯形式:
(a)ZL= Z1=0.6304
(b)ZUE4=Z2=1
(c) N=1+Z2/Z1= 1+1/0.6304 =2.5862
(d)新的Z5=1/Yc=NZ2=N=2.5862
   新的ZUE4=NZ1=0.6304N=1.6304
2.6 轉換完成
 
(4)反正規化
   反正規化上面求得之阻抗,同乘以50Ω後可得:
rG=50Ω , Z1=129.3Ω , ZUE3=81.5Ω, Z2=24.0Ω , ZUE1=80.0Ω, Z3=19.7Ω , ZUE2=80.0Ω, Z4=24.0Ω , ZUE4=81.5Ω, Z5=129.3Ω , rL =50Ω
圖2.7 反正規化
 
(5)計算各個元件之線寬w
由於計算線寬要用到下面兩項經驗公式,過程太繁複所以簡略!
((w/h)大於2使用Eq(2.46a),(w/h)小於2使用Eq.(2.46b))

 
 
(6)計算各個元件之線寬L
由於計算線長要用到下面兩項經驗公式,過程太繁複所以簡略! 將統整於下面。



表2.1 線寬計算結果
Z0(Ω)
50
129.3
81.5
80
24
19
w(mm)
1.527
0.19736
0.567192
0.6200
4.40964
5.911
APPCAD計算
w(mm)
1.525
0.152
0.612
0.613
4.42
5.94



表2.2 線長計算結果
Z0
129.3
81.5
80
24
19
εr
4.4
w/h
0.19736
0.74274
0.77503
5.51168
7.38892
使用公式
(A)
(A)
(A)
(B)
(B)
εerr
2.96
3.115
3.122
3.654
3.7495
L=λg/8 =c/(8f0εerr0.5)
4.3593mm
4.2494mm
4.2447mm
3.9235mm
3.8732mm
APPCAD計算L=λg/8
4.3674mm
4.232mm
4.232mm
3.8688mm
3.8138





 
(7)HFSS模擬驗證 
      下面將使用美商Ansoft HFSS全波電磁模擬軟體來進行分析。

     
雖然每個元件的長度都是都是L=λg/8,但究竟是要如何連接?由於每個分佈元件都是由矩形構成的,並聯元件的寬度是否要算進L=λg/8呢? 換句話說連接究竟是要從元件邊緣連接還是從中心(見圖2.8與圖2.9 )開始算起? 從圖中就可以看出兩者的設計尺寸天差地遠,理論上雖說是從中心開始算起才對,但是此時並聯元件的寬度w已經大到不能忽視,彼此之間可能會發生耦合現象。
    
圖2.8 從邊緣算
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